机电传动系统的动力学基础

掌握机电传动系统的运动方程式, 用它来分析机电传动系统的运动状态;

分析如何缩短过渡过程时间，提高生产率；

研究如何改善机电传动系统的运行情况，使得设备安全运行

机电传动系统的特性： 静态特性 和 动态特性 静态：系统以恒速运转的状态 动态：系统速度处于变化之中的状态

2.1 机电传动系统的运动方程式

2.1.1 单轴机电传动系统运动方程式

2.1.2 运动方程式

根据动力学原理，$T_M$、$T_L$、$\omega$（或$n$）之间的函数关系如下:

$$T_M-T_L = J\frac{d \omega}{dt}$$

工程中用$n$（转/分）代替$\omega$（弧度/秒），用飞轮转矩$GD^2$代替$J$

$$T_M-T_L = \frac{GD^2}{375}\frac{dn}{dt}$$

• $T_M$：电动机的输出转矩($N.m$)
• $T_L$：负载转矩($N.m$)
• $GD^2$：飞轮惯量($kg.m^2$)
• $J$：转动惯量($kg.m^2$)
• $n$：速度($r/min$)
• $\omega$：角速度($rad/s$)
• $t$：时间($s$)

系统动态转矩$T_d$

$$T_d = T_M - T_L$$

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• $Td=0$时，$T_M=T_L$，系统为稳态；
• $Td≠0$时，$T_M ≠ T_L$，系统为非稳态；

转矩平衡方程式

$$T_d = \frac{GD^2}{375}\frac{dn}{dt}$$

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• $T_M>T_L, T_d>0, dn/dt>0$, 系统加速
• $T_M<T_L, T_d<0, dn/dt<0$, 系统减速 T_M, T_L有大小，有方向

2.1.3 $T_M, T_L$的正方向及性质

以转速n为参考量 规定:

与$n$方向相同的$T_M$为正, 与$n$方向相反的$T_L$为正;

与$n$方向相反的$T_M$为负, 与$n$方向相同的$T_L$为负;

tip

2.2 转矩.转动惯量和飞轮转矩的折算

折算原则：能量或功率关系不变

电机和等效负载构成的系统等效一个单轴系统。按照单轴系统进行分析计算

核心公式：

$$T_M-T_L = \frac{GD^2}{375}\frac{dn}{dt}$$

2.2.1 等效负载转矩$T_L$的折算（按照功率守恒进行）

1. 旋转运动的折算

$$\eta_C - 传动效率$$

其中，$\eta_C$为传动效率，它是减速机构的输出功率/减速机构的输入功率。

$$\eta_C = \frac{P_L'}{P_L} = \frac{T_L'\omega_L}{T_L\omega_M}$$$$T_L = \frac{T_L'\omega_L}{\eta_C \omega_M} = \frac{T_L'}{\eta_Cj}$$

其中，$j = \frac{\omega_M}{\omega_L}$，它是传动机构的速比。

2. 直线运动等效转矩$T_L$的折算

提升重物的损耗由电机承担。

$$\eta_C = \frac{Fv}{T_L\omega_M}$$

将$\omega = \frac{2pi}{60}n$代入，得：

$$T_L = \frac{9.55Fv}{\eta_Cn_M}$$

如果是下放重物，损耗应该由负载承担，得到

$$T_L\omega_M = Fv\eta_C'$$$$T_L = \frac{9.55Fv\eta_C'}{n_M}$$

$\eta_C'$是生产机械拖动电动机时的传动效率。

2.2.2 转动惯量和飞轮转矩的折算（动能守恒）

1. 旋转运动

电机轴上的总飞轮转矩（$GD^2=4gJ$）

2. 直线运动

电机轴上的总飞轮转矩

$$GD_Z^2 = GD_M^2 + \frac{GD_1^2}{j_1^2}+\frac{GD_L^2}{j_L^2}+365\frac{Gv^2}{n_M^2}$$

等效的$T_L$和$GD_Z^2$带入标准的单轴运动方程：

$$T_M-T_L = \frac{GD_Z^2}{375}\frac{dn}{dt}$$

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解题思路

(1)

首先看题目是求旋转运动下还是直线运动下，很明显这里没有要提升的重物，不存在什么需要转换的直线运动，那我们就算纯旋转；

看之前算转矩的公式，其实非常明显，老师一开始说的时候，我这里不太明白的是j为什么可以由齿数比推算得出。

恍然大悟。这是机械原理轮系计算的部分，我们知道速比是$j=\frac{\omega_M}{\omega}$，他的齿数比当然是和这个转速比有关的，那么回忆一下轮系计算：

再细看一下这个轮系是定轴轮系。

$$j=\frac{\omega_M}{\omega}=\frac{Z_2}{Z_1}\frac{Z_4}{Z_3}=15$$

然后直接用公式：

$$T_L = \frac{T_L'}{\eta_Cj} = \frac{470.4}{0.92·15} =34.1 N·m$$

(2)

也是直接用公式：

$$GD_Z^2 = GD_M^2 + \frac{GD_1^2}{j_1^2}+\frac{GD_L^2}{j_L^2}$$

注意看每个轴上分别都是哪些轮：

$$= (GD_M^2+GD_1^2)+\frac{GD_2^2+GD_3^2}{j^2_1}+\frac{GD_2^4+GD_L^2}{j^2_L}$$$$=340N·m$$

更优雅的解法：

$$GD_Z^2=\delta GD_M^2 + \frac{GD_L^2}{j_L^2}$$

取$\delta=1.1-1.25$

2.3 机电传动系统的负载特性

定义：同一个转轴上负载转矩和转速之间的函数关系－－机电传动系统的负载特性$n=f(T_L)$

1. 恒转矩特性

特点: 负载转矩为常数

反抗性恒转矩负载

$T_L$ 恒与$n$方向相反。（比如机床加工中的切削力）

位能性恒转矩负载

$T_L$ 的方向恒定，与$n$无关（比如卷扬机吊重物）

2. 离心式通风机负载特性

特点: 负载转矩与转速的平方成正比 （比如水泵和通风机）

$$T_L=Cn^2$$

3. 其他类型负载

如：随机类负载、角度类负载、复合类负载等

2.4 机电传动系统稳定运行的条件

稳定系统：

1. 以一定的速度稳定运行；
2. 扰动时发生变化，扰动消除，恢复原稳定状态。

系统受到干扰后，要具有恢复到原平衡状态的能力，即:当干扰使速度上升时有$T_M<T_L$; 否则，当干扰使速度下降时，有$T_M>T_L$。这是稳定运行的充分条件。

电动机的输出转矩$T_M$和负载转矩$T_L$大小时相等，方向相反，相互平衡是系统稳定运行的必要条件(特性曲线有交点)。

图上的这个a点，若给他干扰$T_L'$，也就是$T_L$增大到$T_L'$，转速下降，此时$T_M$为了稳定运行要增大（当干扰使速度下降时，有$T_M>T_L$），曲线往上走，$T_L'$恢复到$T_L$，转速增大，为了稳定（当干扰使速度上升时有$T_M<T_L$）$T_M$又得下降。这样就恢复到了当初的平衡。

图上的b点则不同，若给他干扰$T_L'$，也就是$T_L$增大到$T_L'$，转速下降，此时$T_M$为了稳定运行要增大（当干扰使速度下降时，有$T_M>T_L$），但是曲线往下走，$T_M$无法增大，系统无法恢复，只能不受控因转速不停下降而停机。

系统稳定运行的充分必要条件

1. 电动机的机械特性 $n=f(T_M )$ 与生产机械的负载特性$n=f(T_L)$必须有交点－平衡点

2. 当转速大于平衡点所对应的转速时，应有$T_M<T_L$；当转速小于平衡点所对应的的转速时，应有$T_M>T_L$

满足以上两个条件的点就是稳定工作点

2.5 机电传动系统的过渡过程