多元函数微积分学综合

链式法则

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试从$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'}$导出：

(1)$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3}$

(2)$\frac{d^3x}{dy^3}=\frac{3(y''')^2-y'y'''}{(y')^5}$

答案

(1) 由题干得，$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y'}$

可以用针对复合函数求导的链式法则去思考这题的解法。

对题干的这个条件$\frac{dx}{dy}$求导，也就是对$\frac{1}{y'}$求导了，

此时可以得$\frac{d\frac{dx}{dy}}{dy}=\frac{d}{dy}(\frac{1}{y'})$，

所以看得出来，左边就是对$\frac{1}{y'}$求导。

这样的话，这个结果就是$\frac{d}{dy}(\frac{1}{y'})=\frac{1}{dx}(\frac{1}{y'})\frac{dx}{dy}=-\frac{y''}{y'^2}(\frac{1}{y'})$

这样就得到了结果。

（我感觉应该比较好理解，首先为啥要用链式法则，就是因为$\frac{d}{dy}(\frac{1}{y'})$不能直接求导，因为y'并非对y的函数，而仍然是y对x的函数。换句话说，y'间接依赖于x。后面这一步就是商的导数法则）

(2) 第二题和第一题很相像，

就还是链式法则来求：

因为第一题已经证实了$\frac{d^2x}{dy^2}=-\frac{y''}{(y')^3}$

所以再对$\frac{d^2x}{dy^2}$求一次导，然后乘一次$\frac{dx}{dy}$，也就是$\frac{1}{y'}$

可以算出来$\frac{d^3x}{dy^3}=\frac{3(y'')^2-y'y'''}{(y')^5}$