多元函数的极限、连续与微分

函数的连续性

函数的连续性，相信并不陌生，它有一个很严谨的定义：

$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$或$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$

称$f(x)$在$x_0$连续。

当然一个$x \to x_0$可以引申出很多，换个说法，这就相当于左连续和右连续。

左连续：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0)$

右连续：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)$

$f(x)$在区间上连续必须是左右连续同时成立。

这是比较好理解的，但当牵扯到证明连续的方法的时候，这个问题会稍微复杂一点点。

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试证：$sinx$在区间$(-\infty,\infty)$上连续。

解

我们需要证明函数在区间$(-\infty,\infty)$上连续，就需要找一个$x_0$让我们能够证明。想要证明这一类问题，我们可以找一个任意的$x_0$，也可以找一个相对来说是一个疑问点的点$x_0$。这一题是一个简单的例子，我们不妨找一个任意的$x_0$证明此事。

$\lim_{x \to x_0} sinx=sinx_0$是我们的目标。

要想证明它们相等，我们可以对这个式子做一些想象，例如我们可以尝试去让这两个元素相减，然后怎么办呢，证明作差结果趋近于0。

直接相减可能是无从下手的，还好我们有和差化积这样的工具来帮助我们。

$|\Delta y| = |sin(x+x_0)-sin(x_0)| = 2|sin\frac{\Delta x}{2}||cos\frac{2x_0+\Delta x}{2}| \leq 2sin\frac{|\Delta x|}{2} \leq 2\frac{|\Delta x|}{2} \leq 0$

函数的间断点

f(x)在x_0处连续，满足：

1. $f(x_0)$存在
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$存在
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

接下来我们顺便讨论一下间断点。它是一种不连续，一个描述函数行为特性的点，描述的是函数在该点的突变。像我们学控制的，这个间断点就比较重要，因为它直接划开了我们需要讨论的函数的范围，无论是电信号还是机械振动模型，都举足轻重。更重要的是它是可导和可积的重要凭据，所以让我们来讨论一下它：

间断是一种不连续。因此，想要判断一个点是否是间断点，我们需要明确它是：

1. $x_0$无定义
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$无定义
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$

间断点分类：

第一类间断点，左右极限都存在。有以下两类：

1. 可去间断点，$f(x_0-0)=f(x_0+0)$
2. 跳跃间断点，$f(x_0-0) \neq f(x_0+0)$

它们的定义是正好相反的.

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1. $f(x)=\frac{sinx}{x}$
2. $f(x)=sgnx$
3. $f(x)=sin\frac{1}{x}$