周期信号的傅里叶级数表示

3.1 历史回顾

傅里叶的两个最重要的贡献：

❖ “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点

❖ “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”——傅里叶的第二个主要论点

3.2 LTI系统对复指数信号的响应

❖ 考查LTI系统对复指数信号$e^{st}$和$z^n$的响应：

$$e^{st} \Longrightarrow h(t) \Longrightarrow y(t)$$$$z^n \Longrightarrow h[n] \Longrightarrow y[n]$$$$y(t) \Leftrightarrow H(s) e^{st}$$$$y[n] \Leftrightarrow H(z) z^n$$

可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得的。这说明$e^{st}$和$z^n$符合对单元信号的第一项要求。

特征函数与特征值

❖ 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。

结论：

❖ 复指数函数$e^{st}$、$z^n$是一切LTI系统的特征函数。$H(s)、$H(z)$分别是LTI 系统与复指数信号相对应的特征值。

$$H(s) = \int^{\infty}_{-\infty} e^{-st} h(t) dt$$$$H(z) = \sum^{\infty}_{n=-\infty} z^{-n} h[n]$$

对时域的任何一个信号$x(t)$, 若能将其表示为下列形式：

$$x(t) = a_1e^{s_1t}+a_2e^{s_2t}+\cdots+a_ne^{s_nt}$$

利用系统的齐次性与叠加性

由于 $e^{s_1t} \rightarrow H(s_1)e^{s_1t}$、 $e^{s_2t} \rightarrow H(s_2)e^{s_2t}$、 $e^{s_3t} \rightarrow H(s_3)e^{s_3t}$

所以有

$$x(t) \rightarrow y(t)=a_1H(s_1)e^{s_1t} + a_2H(s_2)e^{s_2t}+a_3H(s_3)e^{s_3t}$$

即：

$$x(t) = \sum_{k}a_ke^{s_kt} \Longrightarrow y(t) = \sum_{k}a_kH(s_k)e^{s_kt}$$$$x[n] = \sum_{k}a_kz_k^{n} \Longrightarrow y[n] = \sum_{k}a_kH(z_k)z_k^{n}$$

Example:

已知：

$$x(t) \rightarrow y(t)=x(t-3)$$

问：

$$(1) x(t)=e^{j2t} \Longrightarrow y(t)=?$$$$(2) x(t)=cos4t+cos7t \Longrightarrow y(t)=?$$$$x(t) \Longrightarrow y(t)=x(t-3) \Longrightarrow h(t) = \delta(t-3)$$$$H(s) = \int^{\infty}_{-\infty}\delta(t-3)e^{-st}dt = e^{-3s}$$$$(1) x(t)=e^{j2t} \Longrightarrow y(t)= H(j2)e^{j2t}$$$$(2) x(t) = cos4t+cos7t=\frac{1}{2}e^{j4t}+\frac{1}{2}e^{-j4t}+\frac{1}{2}e^{j7t}+\frac{1}{2}e^{-j7t}$$$$\rightarrow LTI y(t)=\frac{1}{2}H(j4)e^{j4t}+\frac{1}{2}H(-j4)e^{-j4t}+\frac{1}{2}H(j7)e^{j7t}+\frac{1}{2}H(-j7)e^{-j7t}$$$$=\frac{1}{2}e^{j4(t-3)}+\frac{1}{2}e^{-j4(t-3)}+\frac{1}{2}e^{j7(t-3)}+\frac{1}{2}e^{-j7(t-3)}$$$$=cos4(t-3)+cos7(t-3)$$

3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示

3.3.1 连续时间傅里叶级数

成谐波关系的复指数信号集: $\Phi_k(t)=\{e^{jk\omega_0t}\}$

$$\Phi_k(t)=\{e^{jk\omega_0t}, e^{j2\omega_0t}, e^{j3\omega_0t}, ... \}$$

基波分量:

$$e^{j\omega_0t}, e^{-j\omega_0t} T=\frac{2\pi}{\omega_0}$$

二次谐波分量:

$$e^{j2\omega_0t},e^{-j2\omega_0t} T=\frac{2\pi}{2\omega_0}$$

N次谐波分量:

$$e^{jN\omega_0t},e^{-jN\omega_0t} T=\frac{2\pi}{N\omega_0}$$

每个信号周期：$\frac{2\pi}{|k\omega_0|}$

公共周期：$\frac{2\pi}{|\omega_0|}$

如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，

有傅里叶级数：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_ke^{jk\omega_0t}$$

它揭示了：连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。

例：

$$x(t)=cos\omega_0t=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})$$$$=\frac{1}{2}e^{j\omega_0t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_0t}$$

该信号中，有两个谐波分量，$a_{±1}=\frac{1}{2}$为相应分量的加权因子，即傅立叶系数

3.3.2 频谱（Spectral）的概念

信号集$\Phi_k(t)$中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间 信号随时间t的变化规律都是一样的，差别的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。

在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率.

频谱图其实就是将随频率的分布表示出来，即$a_k-\omega$的关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。

傅里叶分析实质上是一种频域分析方法，当信号被分解成各次谐波以后，我们就可以从频域来分析处理问题。

幅度谱：$|a_k|=\sqrt{Re\{a_k\}^2+Im\{a_k\}^2}$ 反映谐波分量的幅值随谐波频率的变换。

相位谱：$∠a_k=tg^{-1}\frac{Im\{a_k\}}{Re\{a_k\}}$ 反映谐波分量相位随谐波频率的变换情况。

例：

$$x(t)=sin(\omega_0 t)$$

将$x(t)$展成$x(t)=\sum^{\infty}_{-\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}$，并确定$a_k$

$$x(t)=\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2j}$$$$a_1=\frac{1}{2j} a_{-1}=-\frac{1}{2j}$$$$x(t)=1+sin(\omega_0t)+2cos(\omega_0t)+cos(2\omega_0t+\frac{\pi}{4})$$

将$x(t)$展成$x(t)=\sum^{\infty}_{-\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}$，并确定$a_k$

解：

$$x(t)=1+\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2j}+2*\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}+\frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{2}e^{j2\omega_0t}+\frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{2}e^{-j2\omega_0t}$$$$a_0=1$$$$a_1=\frac{1}{2j}+1$$$$a_{-1}=\frac{-1}{2j}+1$$$$a_2=\frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{2}$$$$a_{-2}=\frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{2}$$

3.3.3 实信号的傅里叶级数表示

若$x(t)$是实信号：

$$x(t)=x^{*}(t)$$$$x^{*}(t)=[\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_k^{*}e^{jk\omega_0t}]^{*}=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_{-k}^{*}e^{jk\omega_0t}=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

或：

$$a_{-k}=a^{*}_k$$$$a^{*}_k=a_{-k}$$$$x(t)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk\omega_0t}=\sum^{-1}_{k=-\infty}+a_0+\sum^{\infty}_{k=1}a_ke^{jk\omega_0t}$$$$=a_0+\sum^{\infty}_{k=1}(a_{-k}e^{jk\omega_0t}+a_ke^{jk\omega_0t})$$$$=a_0+\sum^{\infty}_{k=1}((a_{k}e^{jk\omega_0t})^{*}+a_ke^{jk\omega_0t})$$$$=a_0+2\sum^{\infty}_{k=1}Re\{a_ke^{jk\omega_0t}\}$$

若令$a_k=A_ke^{j\theta_k}$，则有：

$$x(t)=a_0+2\sum^{\infty}_{k=1}Re\{A_ke^{j\theta_k}e^{jk\omega_0t}\}$$$$=a_0+2\sum^{\infty}_{k=1}Re\{A_ke^{j\theta_k+jk\omega_0t}\}$$

得傅里叶级数的三角函数表达式：

$$=a_0+2\sum^{\infty}_{k=1}A_kcos(\theta_k+k\omega_0t)$$

3.3.4 连续时间傅里叶级数系数的确定

如果周期信号$x(t)$可以表示为傅里叶级数

$$x(t)=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$$

则有：

$$x(t)e^{-jn\omega_0t}=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_ke^{j(k-n)\omega_0t}$$

对两边同时在一个周期内积分，有

$$\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt=\sum^{\infty}_{k=-\infty}a_k\int_{0}^{T}e^{j(k-n)\omega_0t}dt$$$$\int^{T}_{0}e^{j(k-n)\omega_0t}dt=\begin{cases} 0 , k \neq n \\ T , k=n \end{cases}$$$$\int^T_{0}x(t)e^{jn\omega_0t}dt=a_nT$$

即：

$$a_n=\frac{1}{T}\int^T_0x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$

在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为

$$a_k=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}x(t)e^{-jkt\omega_0}dt$$$$a_0=\frac{1}{T}\int^T_0x(t)dt$$

$a_0$是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。

傅里叶级数：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkt\omega_0}$$

傅里叶级数系数：

$$a_k=\frac{1}{T}\int^T_0x(t)e^{-jkt\omega_0}dt$$

例：$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)$

求其傅里叶级数表达式。

$$a_k=\frac{1}{T}\int^{T^{-}}_{0^{-}}\delta(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}$$$$x(t)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{jkt\omega_0}$$

3.3.5 周期性矩形脉冲信号的频谱

周期性矩形脉冲信号的频谱特征：

❖ 离散性

频谱是离散频谱

❖ 谐波性

谱线是在基波频率的整数倍上出现

❖ 收敛性

各次谐波的振幅随谐波次数的增大而逐渐减少

3.4 连续时间傅里叶级数的收敛

3.4.1 傅里叶级数是对信号的最佳近似

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\ e^{j\omega_0nt}$$$$x_N(t)=\sum_{n=-N}^{N}\tilde{a}_n\ e^{j\omega_0nt}$$$$e_N(t)=x(t)-x_N(t)$$$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\ e^{j\omega_0nt}-\sum_{n=-N}^{N}\tilde{a}_n\ e^{j\omega_0nt}$$$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\ e^{j\omega_0nt}$$

其中：

$$c_n=\begin{cases} a_n-\tilde{a}_n & -N \leq n \leq N \\ a_n & |n|>N \end{cases}$$

以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为:

$$E_N=\int_T |e_N(t)|^2dt$$$$=\int_T \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n\ e^{j\omega_0nt}dt \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k^{*}e^{-jk\omega_0t}dt$$$$=\sum^{\infty}_{k=-\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_kc_n^{*}\int_Te^{jk\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}dt$$$$=T\sum^{\infty}_{k=-\infty}c_kc_k^{*}$$$$=T[\sum^{N}_{k=-N}|a_k-\tilde{a}_k|^2+\sum_{|k|>N}|a_k|^2]$$

要使均方误差最小，需使：

$$a_k=\tilde{a}_k$$

因此，当周期信号用有限项傅立叶级数展开近似时，实际上它是最小均方近似。

结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似.

3.4.2 傅里叶级数的收敛

第一组条件：

1. 平方可积条件：$\int_T|x(t)|^2dt<\infty$
2. $x(t)$在一个周期内能量有限，$a_k$一定存在。

Dirichlet条件：

(1) $\int_T|x(t)|dt<\infty$, 在任何周期内信号绝对可积。 (2) 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。 (3) 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。

这两组条件都是傅里叶级数收敛的充分条件。

用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。

3.4.3 Gibbs现象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少 。

3.5 连续时间傅里叶级数（CFS）

3.5.1 线性

若$x(t)$和$y(t)$都是以T为周期的信号，且

$$x(t) \Leftrightarrow a_k$$$$y(t) \Leftrightarrow b_k$$

则

$$Ax(t)+By(t) \Leftrightarrow C_k=Aa_k+Bb_k$$

若$x(t)$是以T为周期的信号，且

$$x(t) \Leftrightarrow a_k$$

3.5.2 反转

$$x(-t) \Leftrightarrow b_k=a_{-k}$$

3.5.3 时移

$$x(t-t_0) \Leftrightarrow b_k=a_ke^{-j\omega_0kt_0}$$

3.5.4 尺度变换

$$x(at) \Leftrightarrow b_k=a_k$$

3.5.5 相乘

若$x(t)$和$y(t)$都是以T为周期的信号，且

$$x(t) \Leftrightarrow a_k$$$$y(t) \Leftrightarrow b_k$$$$x(t)y(t) \Leftrightarrow \sum^{\infty}_{l=-\infty}a_lb_{k-l}=a_k*b_k$$

3.5.6 共轭对称

$$x^*(t) \Leftrightarrow a_{-k}^*$$

由此可推得，对实信号有

$$x(t)=x^*(t) a_{-k}=a_{k}^*$$

若$x(t)$为实偶函数: $a_k$为实偶 若$x(t)$为实奇函数: $a_k$为虚奇

3.5.7 微分

$$\frac{dx(t)}{dt} \Leftrightarrow jk\omega_0a_k$$

3.5.8 Parseval 定理

$$\frac{1}{T}\int_T|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2$$

一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.

注意

对一信号 x(t) 给出以下信息:

1. $x(t)$ 是实的且为奇函数；
2. $x(t)$ 是周期的，周期 $T=2$ ，傅立叶系数为$a_k$；
3. 对$|k|>1$,$a_k=0$；
4. $\frac{1}{2}\int_0^2|x(t)|^2dt=1$ 确定该信号.

答案

1. a_k是虚奇
2. $\omega_0=\pi$
3. $a_k$仅有$a_0$、$a_1$、$a_{-1}$其余为0。$a_0=0$
4. 由帕斯瓦尔定理：$\frac{1}{2}\int_2|x(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2$

$\sum_{\infty}^{k=-\infty}|a_k|^2=a_0^2+a_1^2+a_{-1}^2=1$

$a_1=±\frac{\sqrt{2}}{2}j$

$a_{-1}=∓\frac{\sqrt{2}}{2}j$

$x(t)=\sqrt{2}sin \pi t$或者$x(t)=-\sqrt{2}sin \pi t$

3.6 离散时间周期信号的傅立叶级数表示

3.6.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合

周期为$N$的周期信号$x[n]$: $x[n]=x[n+N]$

正交的离散时间复指数信号集合:

$$(1) \phi_k[n]=e^{jk\omega_0n}=e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, k=0,±1,±2,\cdots$$$$(2) \sum_{n=<N>}\Phi_k[n]\Phi^*_r[n]=\sum_{n=<N>}e^{j(k-r)\omega_0n}$$$$=\begin{cases} N, & k=r\\ 0, & k\neq r \end{cases}$$

3.6.2 周期信号傅立叶级数表示的确定

周期信号$x[n]$的傅立叶级数展开式为：

$$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j\frac{2\pi}{N}kn}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jk\omega_0n}$$

通过正交性确定系数$a_k$:

$$x[n]e^{-jr\omega_0n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j(k-r)\omega_0n}$$$$\sum_{k=<N>}x[n]e^{-jr\omega_0n}=\sum_{n=<N>}\sum_{k=<N>}a_ke^{j(k-r)\omega_0n}$$$$a_r=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jr\omega_0n}$$

傅里叶级数变换对：

$$\begin{cases} x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0n} \\ a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\omega_0n} \end{cases}$$

注意

例：

$$x[n]=cos\frac{\pi}{3}n$$$$y(n)=sin[\frac{2\pi n}{3}]cos[\frac{\pi n}{2}]$$

分别求$x[n] \rightarrow a_k$ 、$y(n) \rightarrow b_k$

解

(1) $a_k=\frac{}{}$, $N=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}}=6$

$$cos{\frac{\pi}{3}}n=\frac{1}{2}(e^{\frac{\pi}{3}j}n+e^{-\frac{\pi}{3}j}n)$$$$a_1=\frac{1}{2}$$$$a_5=a_{-1}=\frac{1}{2}$$$$a_k=\begin{cases} \frac{1}{2} & k=rN+1, rN+5\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

(2)

$$y(n)=sin(\frac{2\pi n}{3})cos(\frac{\pi n}{2})$$$$x[n] = \frac{1}{2j}(e^{j\frac{2\pi}{3}n}-e^{-j\frac{2\pi}{3}n})\frac{1}{2}(e^{-j\frac{\pi}{2}n}+e^{j\frac{\pi}{2}n})$$$$=\frac{1}{4j}(e^\frac{7\pi n}{6}+e^\frac{5\pi n}{6}-e^\frac{\pi n}{6}-e^\frac{7\pi n}{6})$$$$=\frac{1}{4j}(e^\frac{7\pi 2n}{12}+e^\frac{5\pi 2n}{12}-e^\frac{\pi 2n}{12}-e^\frac{7\pi 2n}{12})$$$$=\begin{cases} \frac{1}{4j} & k=rN+1, rN+7\\ -\frac{1}{4j} & k=rN+5, rN+11\\ 0 & others \end{cases}$$

3.6.3 周期性方波序列的频谱

周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在区间$-\pi-\pi$考查时 ，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性

DFS是一个有限项的级数，确定的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。

3.7 DFS的性质

1. 差分

$$x[n]\leftrightarrow a_k$$$$x[n]-x[n-n_0] \leftrightarrow (1-e^{-jk\omega_0n_0})a_k$$

2. 相乘

$$x[n] \leftrightarrow a_k$$$$y[n] \leftrightarrow b_k$$

周期卷积：

$$x[n]y[n] \leftrightarrow c_k=\sum_{m<N>}a_m b_{k-m}$$

3. Paseval定理

$$x[n] \leftrightarrow a_k$$$$\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}|x[n]|^2=\sum_{k=<N>}|a_k|^2$$

左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。

一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。

提示

例：现对一信号$x[n]$给出以下信息：

1. $x[n]$是实的且为偶函数;
2. $x[n]$的周期$N=10$，傅里叶系数为$a_k$;
3. $a_11=5$;
4. $\frac{1}{10}\sum^{9}_{n=0}|x[n]|^2=50$

证明：$x[n]=Acos(Bn+C)$, 给出A、B和C的值.

解

1. $a_k$为实偶

2. $\omega_0=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}$

3. $a_{-1}=a_9=5$

4. $\sum_{n=\<N\>}|a_k|^2=50$

$$a_k=\begin{cases} 5 & k=1,9\\ 0 & others \end{cases}$$$$x[n]=5e^{j\frac{\pi}{5}n}+5e^{j\frac{9\pi}{5}}=5e^{j\frac{\pi}{5}n}+5e^{-j\frac{9\pi}{5}}=10cos(\frac{\pi}{5}n)$$

周期信号频谱的主要特点

• 不管是连续时间还是离散时间，周期信号的频谱都是离散频谱，即只在该周期信号重复频率$ω_0$($2π/T$或$2π/N$)的整数倍频谱点上，才出现谱线。

• 连续时间周期信号一般包含有无穷多条谱线；而离散周期序列的频谱尽管也可以画成无穷多条谱线，但是只有顺序的N条谱线才是有效的。

• 周期愈短，频谱越稀疏；周期愈长，频谱愈密。

• 实际的周期信号一般都为实周期信号，实周期信号的傅立叶级数系数是共轭对称的。

3.8 傅里叶级数与LTI

LTI 系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。

在连续时间情况下，LTI系统的输入是$x(t)=e^{st}$, 那么输出是$y(t)=H(s)e^{st}$。

在离散时间情况下，LTI系统的输入是$x[n]=z^n$,那么输出是$y[n]=H(z)z^n$。

对连续时间系统，$H(s)=\int^{\infty}_{-\infty}h(t)e^{-st}dt$

对离散时间系统，$H(z)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}h[n]z^{-n}$

上两式为系统的系统函数。

注意

3.9 滤波

滤波：改变一个信号中各频率分量的相对大小，或者全部消除某些频率分量的过程。

频率成形滤波器：用于改变频谱形状的线性时不变系统。

频率选择性滤波器: 基本无失真的通过某些频率, 而显著地衰减掉或消除掉另一些频率的系统。

3.9.1 频率成形滤波器

改变频谱形状的线性时不变系统.

微分滤波器：$H(j\omega)=j\omega$

3.9.2 频率选择滤波器

专门设计成基本上无失真地通过某些频率，而显著地衰减或者消除另一些频率的系统.

低通滤波器：通过低频，而衰减或阻止较高频率的滤波器。

高通滤波器：通过高频，而衰减或阻止较低频率的滤波器。

带通滤波器：通过某一频带范围频率，而衰减掉既高于又低于所要通过的这段频带的滤波器。

信息

一连续时间理想低通滤波器s ，其频率响应是:

$$H(j\omega)=\begin{cases} 1 & |\omega| \leq 100 \\ 0 & |\omega| > 100 \end{cases}$$

当该滤波器的输入是基波周期$T=π/6$和傅立叶级数系数$a_k$的信号时，发现有

$x(t) \rightarrow y(t)=x(t)$

问对于什么样的$k$值，才保证$a_k=0$?

解

$T=\frac{\pi}{6}$,