不定积分

微分或导数的逆运算的问题就是：

找一个还函数$y=F(x),\exists F(x)$的导数。

$F'(x) = f(x)$

其中，f(x)是已知函数。

1. 不定积分的定义

函数$f(x)$的原函数全体称为$f(x)$的不定积分。记作$\int f(x)dx = F(x)+C$。

其中C为积分常数。微分运算与不定积分的运算是互逆的。

不定积分的几何意义是一族积分曲线。

2. 不定积分法（积分法）

如何求$f(x)$的不定积分？只需要求一个原函数$F(x)$，然后加任意常数C。这就是不定积分法，它的所求是原函数全体。

提示

1. 求$\int x^4$？
2. 求$\int \frac{1}{x^2+1}dx$？
3. 设曲线通过(2,1)，曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的3倍，求曲线方程。

3. 基本积分表

1. $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
2. $\int e^x dx = e^x+C$
3. $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C$
4. $\int \frac{1}{x^2+1}dx = \tan^{-1}x+C$
5. $\int \frac{1}{x^2-1}dx = \frac{1}{2}\ln|\frac{x-1}{x+1}|+C$
6. $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx= \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}$
7. $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx= \frac{1}{a}\ln|x^2-a^2|+C$
8. $\int sinxdx = -cosx+C$
9. $\int cosxdx = sinx+C$
10. $\int sec^2xdx = tan x+C$
11. $\int csc^2xdx = -cot x+C$
12. $\int secxtanxdx = secx+C$
13. $\int cscxcotxdx = -cscx+C$
14. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =arcsinx+C$
15. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx =arcsin\frac{x}{a}+C$
16. $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}dx =\frac{1}{a}arctanh\frac{x}{a}+C$
17. $\int shxdx = chx+C$
18. $\int chxdx = shx+C$

4. 不定积分的性质

Reference

[1]. 复旦大学数学科学学院.不定积分的概念与计算[M/OL](2021-11-01)[2024-08-21].https://math.fudan.edu.cn/_upload/article/files/8b/6b/f3bc390143b09642a863057be4e7/83177bf7-36f3-44c9-9e78-fe2c0d1c79ea.pdf