线性时不变系统

理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；掌握LTI系统的性质；

2.1 离散时间LTI系统：卷积和

离散单位冲激函数$\delta[n]$

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n=0 \\ 0, & n\neq 0 \end{cases}$$

移位的单位冲激函数$\delta[n-k]$

$$\delta[n-k] = \begin{cases} 1, & n=k \\ 0, & n\neq k \end{cases}$$

对于任意的激励信号$x[n]$可以表示成单位冲激序列的加权和，即：

$$x[n] = ...x[-1]\delta[n+1] + x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n-1] + ... = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$$

1. 单位冲激响应(Unit Impulse Response )

注意：单位冲激响应是系统的零状态响应

2. LTI 系统的卷积和 (Convolution Sum of LTI System)

时不变性

线性（齐次性）：

$$x[m]\delta[n-m] \rightarrow x[m]h[n-m]$$

线性（累加性）：

$$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_kx[n-k] \rightarrow y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$$

卷积和：

$$y[n] = x[n]*h[n]$$$$= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$$

自变量变换：$n \rightarrow k$

1. 反折

$$h[k] \rightarrow h[-k]$$

2. 时移

$$h[k] \rightarrow h[k-a]$$

3. 相乘

$$h[k] \rightarrow h[k]\delta[a-k]$$

4. 求和

$$h[k] \rightarrow \sum_{j=-\infty}^{+\infty}h[k-j]\delta[j]$$

即：反折-时移-相乘-求和

还可以使用：

1. 图解法
2. 解析法
3. 多项式的乘、除法求解

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思路

解析式法：

对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和。

例：

$$x[n] = 2^nu[-n], h[n] = u[n]$$

求：

$$y[n] = x[n]*h[n]$$

但是这种函数不容易看出卷积和的上下限。一般还是要图解。

思路

2.2 连续时间线性时不变系统： 卷积积分

2.3 线性时不变系统的性质

2.4 用微分方程和差分方程描述的因果线性时不变系统

2.5 奇异函数