信号与系统

tip

本章重点

1. 连续信号、离散信号的概念；周期信号与非周期信号的概念；
2. 几种基本信号的理解以及信号的基本运算；
3. 系统的性质；

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1. 连续单位阶跃信号与单位冲激信号的理解；
2. 信号的基本运算；
3. 系统的性质;

语音信号的特点是一维、其变化依赖于时间。它的特性有音量和频率。

系统的输入和输出都是信号，信号的种类很多。

1.1 连续时间信号和离散时间信号

信号：信号是消息的载体，一般表现为随时间变化的某种物理量。可以描述范围极其广泛的物理现象，可以分为确知信号和随机信号，或者是连续时间信号与离散时间信号。

确知信号：一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础。

电信号最易于传输、控制和处理。

本课程只研究确知信号。在应用和科研层面，一般是研究随机信号。现实生活中，一般是一个确知信号+一个随机信号的组合，这是因为一个确知信号总是收到随机噪声的干扰。

您可以使用Python 生成一个随机信号：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置参数
sample_rate = 1000  # 采样率 (Hz)
duration = 1.0      # 持续时间 (秒)
frequency = 5       # 信号频率 (Hz)

# 生成时间序列
t = np.linspace(0, duration, int(sample_rate * duration), endpoint=False)

# 生成连续随机信号
random_signal = np.random.normal(0, 1, t.shape)

# 可视化信号
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(t, random_signal)
plt.title('Continuous Random Signal')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
plt.show()

可以这么看：连续时间信号是函数，离散时间信号是数列。（某些时间点上的值）

1. 连续信号

$$x_1(t) \rightarrow T_1 , x_2(t) \rightarrow T_2$$

若$\frac{T_1}{T_2}$是有理数, 则$Ax_1(t)±Bx_2(t)$是周期的，其基波周期：

$$T_0 = LCM(T_1, T_2)$$

2. 离散信号

$$x_1[n] \rightarrow T_1 , x_2[n] \rightarrow T_2$$

$Ax_1[n]±Bx_2[n]$一定是周期的，其基波周期：

$$T_0 = LCM(N_1, N_2)$$

信号的描述：连续时间信号 $x(t)$，$x(t_1,t_2)$，离散时间信号 $x(n)$，$x(n_1,n_2)$

在做信号处理的时候，时间可以往后退（数学意义上）。使用历史信号也是预测的基础。

连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成一个离散时间信号。

信号的能量与功率：

连续时间信号在$[t_1,t_2]$区间的能量定义为：

$$E=\int_{t_1}^{t_2}x(t)^2dt$$

连续时间信号在$[t_1,t_2]$区间的平均功率为：

$$P=\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}x(t)^2dt$$

需要注意的是，这个积分有可能是过零的，积分是对数，也就是出现无穷大。为了避免这种情况，我们对信号进行了分类。

离散时间信号在$[n_1,n_2]$区间的能量定义为：

$$E=\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)^2$$

离散时间信号在$[n_1,n_2]$区间的平均功率为：

$$P=\frac{1}{n_2-n_1}\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)^2$$

在无限区间上也可以定义信号的总能量：

• 连续时间情况下：

$$E = \lim_{T \to \infty} \int_{-T} ^{T} |x(t)|^2 \ =\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt$$

• 离散时间情况下：

$$E = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=n_1}^{n_2}|x(n)|^2$$

我们刚刚说到最好对他们实行分类，事实上，这个问题可以按照能量的多少（有限还是无限）来分类。

1. 信号的总能量有限（能量信号）

$$E_{\infty}<\infty,P_{\infty}= 0$$

2. 信号的总能量无限，平均功率有限（功率信号）

$$E_{\infty}=\infty, 0<P_{\infty}<\infty$$

3. 信号的总能量和平均功率都无限

$$E_{\infty}=\infty, P_{\infty}=\infty$$

判别一个信号是否是能量信号，您应该先计算它的总能量。

我们曾在高中学过函数的周期性，在周期信号上您能更直观地看出。如果一个信号是周期信号，则$x(t+T)=x(t)$或$x(n+T)=x(n)$。离散时间信号会表现出一根根火柴棒起起伏伏的样子。

值得指出的是，周期信号一定是功率信号。在无限个周期内能量越加越大，直到无穷大，但每个周期内能量是有限的。因此，从定义上可见它一定是个功率信号。

$$x(t) = x(t+kT)$$

对于连续周期信号，满足上式的最小周期称为基波周期，用$T_0$表示。

离散周期信号：一个离散信号$x[n]$, 若对所有$n$均有： $x[n]=x[n+mN]$, $m=0$, 则称 $x[n]$ 为离散周期信号。（在时间上是离散的 ， 只在某些不连续的规定瞬时 （ 本课程规定为整数值 ） 给出函数值 ， 在其它时间没有定义 。）

满足上式的最小周期称为 基波周期，用$N_0$ 表示。

$$P_{\infty}=\frac{1}{T}\int^{T}_0|x(t)|^2 dt$$

或

$$P_{\infty}=\frac{1}{2T}\int^{T}_{-T}|x(t)|^2 dt$$$$P_{\infty}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}|x(n)|^2$$

或

$$P_{\infty}=\frac{1}{2N+1}\sum^{N}_{n=-N}|x(n)|^2$$

1.2 自变量变换

由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。

1.2.1 信号的运算与变换

相加

$$x(t) = x_1(t) + x_2(t)$$

指两个 （ 或多个 ） 信号之和构成另一个信号 ， 它在任意瞬间的值等于两个 （ 或 ） 多个信号在同一瞬间的值的代数和。

对于离散信号有$y[n]=x_1[n] + x_2[n]$，同序列号$n$的序列值逐项对应相加。

相乘

$$x(t) = x_1(t) \times x_2(t)$$

指两个 （ 或多个 ） 信号相乘构成另一个信号时 ， 把所有相同瞬间的值一一相乘。

对于离散信号有$y[n] = x_1[n] \times x_2[n]$，同序列号$n$的序列值逐项对应相乘。

移位（time shift）

$$x(t ± t_0)$$

x(t-t_0 )， 则是原信号向右平移$t_0$时间; x(t+t_0 )， 则是原信号向左平移$t_0$时间;

对于离散信号：

$$x[n ± n_0]$$

$x[n-n_0]$: 向右平移$n_0$个采样点; $x[n+n_0]$: 向左平移$n_0$个采样点;

反折（time reversal）

$$x(-t)$$

将$x(t)$沿纵坐标反折得到。

对于离散信号：

$$x[-n]$$

将序列$x[n]$沿n=0的纵轴反折得到。

% 一个有趣的小实验：MATLAB 演示“反折”信号 x(-t)
% 录音，并即时倒放
% 1. 录制音频信号
Fs = 44100; % 采样率（Hz）
duration = 5; % 录音时长（秒）

% 创建录音对象
recObj = audiorecorder(Fs, 16, 1);

disp('开始录音...');
recordblocking(recObj, duration);
disp('录音完成.');

% 获取录音数据
audioData = getaudiodata(recObj);

% 2. 对音频信号进行反折
reversedAudioData = flipud(audioData);

% 3. 播放反折后的音频
sound(reversedAudioData, Fs);

% 或保存为文件
audiowrite('reversed_audio.wav', reversedAudioData, Fs);

尺度变换(Compression and expansion)

$$x(at)$$

如果将信号 $x(t)$ 的自变量乘以正系数$a$为$x(at)$ ， 则:

$a>1$, 将波形进行压缩;

$a<1$, 将波形进行扩展;

warning

为什么快放时声音要尖锐些？而慢放声音要低沉些？

tip

若 x(t) 是已录制声音的磁带：

• $x(-t)$ 表示磁带倒转播放产生的信号
• $x(2t)$ 表示磁带以二倍加快播放的结果
• $x(t/2)$ 表示原磁带放音速度降至一半产生的信号

warning

对离散信号进行压缩时会出现什么问题？

danger

在移位、反折、尺度变换时，一定要注意一点，那就是在对时间变量t作变换！！！ 并且，要形成这样一种思路：线性变换是时移、反折、尺度打组合技。

微分(Differential)

$$x'(t) = \frac{d}{dt}x(t)$$

差分(difference)

信号的差分分为前向差分和后向差分：

一阶前向差分定义为: $\Delta x(n) = x(n+1) - x(n)$

一阶后向差分定义为：$\nabla x(n) = x(n) - x(n-1)$

积分(Integration)

$$x(t) = \int^{t}_0 x(\tau) d\tau$$

累加(Accumulation)

$$y[n]=\sum^{n}_{k=0} x[k]$$

1.2.2 信号的奇偶性

信号的奇偶分解(The odd and even decomposition of the signal)对于连续信号：

$$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$

则

$$x(-t) = x_e(-t) + x_o(-t) = x_e(t) - x_o(t)$$

对于连续信号，

$$x_e(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}, x_o(t) = \frac{x(t)-x(-t)}{2}$$

在祖师爷的书里面不这么描述，使用的是Ev和Od表示奇偶。

$$Ev\{x(t)\}=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, Od\{x(t)\} = \frac{x(t)-x(-t)}{2}$$

对于离散信号：

$$x_e[n] = \frac{x[n]+x[-n]}{2}, x_o[n] = \frac{x[n]-x[-n]}{2}$$

信号与其偶分量和奇分量之间还满足以下能量关系式:

连续：

$$\int^{\infty}_{-\infty} x^2(t)dt = \int x_e^2(t)dt + \int x_o^2(t)dt$$

离散：

$$\sum^{\infty}_{n=-\infty} x^2[n] = \sum^{\infty}_{k=-\infty} x_e^2[n] + \sum^{\infty}_{k=-\infty} x_o^2[n]$$

warning

信号的实虚分解

$$x(t)=\alpha(t)+j\beta(t), x^{*}(t)=\alpha(t)-\beta(t)$$

则：

$$\alpha(t)=\frac{x(t)+x^{*}(t)}{2}, j\beta(t)=\frac{x(t)-x^{*}(t)}{2}$$

1.3 指数信号与正弦信号

代表很广泛的一类信号。

分析很方便：其微分与积分都为指数信号。

表征很大范围信号：很多信号可以表征为复指数信号的加权和

1.3.1 连续时间复指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号与正弦信号(continus- - time complex exponential signal and sinusoidal signals )中最常用的是复指数信号

其表示式为：

$$x(t) = Ce^{at}$$

其中：C和a一般为复数

$$C=\alpha + j\beta, a=r+j\omega_0$$$$x(t) = (\alpha + j\beta)e^{r+j\omega_0}t$$

实指数信号 (real exponential signal)

$$x(t) = (\alpha + j\beta)e^{r+j\omega_0}t$$

若$C$和$a$为实数，则为实指数信号。

周期复指数信号 (periodic complex signal)

$$x(t)=Ce^{at}$$

令$a=j\omega_0$，得$x(t)=e^{j\omega_0 t}$

所有$x(t)$都满足$x(t)=x(t+T)$，并且$T=\frac{2\pi}{\omega_0}$。因此$x(t)$是周期信号。

正弦信号(sinusoidal signals)

欧拉公式：

$$e^{j\omega_0t} = cos(\omega_0t) + j\sin(\omega_0t)$$$$cos(\omega_0t) = \frac{1}{2}e^{j\omega_0t} + \frac{1}{2}e^{-j\omega_0t}$$$$sin(\omega_0t) = \frac{1}{2}je^{j\omega_0t} - \frac{1}{2}je^{-j\omega_0t}$$

得

$$e^{j(\omega_0t+\phi)} = cos(\omega_0t+\phi)+jsin(\omega_0t+\phi)$$

取实部则为正弦信号

$$x(t) = Acos(\omega_0t+\phi)$$

一般复指数信号

$$x(t) = Ce^{at}$$

其中,

$$C =\alpha + j\beta = |C|e^{j\theta}, a=r+j\omega_0$$$$x(t)=|C|e^{j\theta}e^{rt}e^{j\omega_0t} = |C|e^{rt}e^{j(\omega_0+\theta)} = |C|e^{rt}cos(\omega_0t+\theta) + j|C|e^{rt}sin(\omega_0t+\theta)$$

一般复指数信号

$$x(t)=|C|e^{rt}e^{j\omega_0t}$$

一般的复指数信号，可以将它看成是 实指数信号$e^{rt}$和周期复指数信号$e^{j\omega_0t}$相乘的结果；

$\omega_0$ 反映了振荡信号的变化频率; r 反映了振荡信号峰值的变化趋势；

用包络线来描述信号峰值的变化趋势。

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解题

$$x_1(t)=cos6t$$$$T_1=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$$$$x_2(t)=cos^2(4t)=\frac{1+cos(8t)}{2}$$

直流信号不影响信号的周期。

$$T_2=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$$$$x_3(t)=cos\sqrt3t$$$$T_3=\frac{2\pi}{\sqrt3}$$

对于$x_1(t)+x_2(t)$，$\frac{T_1}{T_2}=\frac{4}{3}$为有理数，故其周期为：

$$T_0=LCM(T_1,T_2)=\pi$$

对于$x_1(t)+x_3(t)$，$\frac{T_1}{T_3}=\frac{\sqrt3}{3}$为无理数，该周期不是周期信号。

1.3.2 离散时间复指数信号与正弦信号

复指数信号（序列）：

$$x[n] = Ce^{an}$$

C与a均为复数。

实指数信号

$$x[n] = Ce^{an}$$

正弦信号

$$x[n] = cos(\omega_0n+\phi)$$

一般复指数信号

$$x[n] = Ce^{an}$$

其中,

$$C = |C|e^{j\theta}, a=|a|e^{j\omega_0}$$

1.3.3 离散时间复指数序列的周期性质

连续周期复指数$e^{j \omega_0 t}$具有两个性质：

$\omega_0$愈大，$e^{j \omega_0 t}$振荡频率愈高； 对任何$\omega_0$， $e^{j \omega_0 t}$都是周期的。

warning

提出问题：对于离散时间复指数信号是否也具有这两条特性呢？

问题1： $\omega_0$愈大， $e^{j \omega_0 n}$振荡频率愈高？？？

问题2 ：任何$\omega_0$， $e^{j \omega_0 n}$一定是周期的？

tip

对于有理数倍数$\pi$的$\omega_0$，$e^{j \omega_0 n}$一般无法是周期的。这是因为在如此情况下的三角函数，求周期会求出无理数。

warning

20240829作业：

基本题，P39 1.26 All，1.25 def

Details

答案

1.25(d)

$$x(t) = Ev\{cos(4\pi t)u(t)\}$$$$=\frac{1}{2}cos(4\pi t)u(t)+\frac{1}{2}cos(-4\pi t)u(-t)$$$$=\frac{1}{2}cos(4\pi t)u(t)+\frac{1}{2}cos(4\pi t)u(-t)$$$$=\frac{1}{2}cos(4\pi t)$$

周期的，且周期为$T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$

1.25(e)

$$x(t) = Ev\{sin(4\pi t)u(t)\}$$$$= \frac{1}{2}sin(4\pi t)u(t)+\frac{1}{2}sin(-4\pi t)u(-t)$$$$= \frac{1}{2}sin(4\pi t)u(t)-\frac{1}{2}sin(4\pi t)u(-t)$$

所以$x(t)$是非周期的。

1.25(f)

$$x(t) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}e^{-(2t-n)}u(2t-n)$$$$x(t+T) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}e^{-(2t+(2T-n))}u(2t+(2T-n))$$

$x(t)$是周期的。

$$2T=k=1, T=\frac{1}{2}$$

1.26(a)

$$x[n]=sin(\frac{6\pi}{7}n+1)$$

周期的，因为$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{6\pi}{7}/2\pi=\frac{3}{7}=\frac{m}{N}, N=7$，满足有理数的条件。

1.26(b)

$$x[n]=cos(\frac{n}{8}-\pi)$$

非周期的，因为$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{16\pi}$，不满足有理数条件。

1.26(c)

$$x[n]=cos(\frac{\pi n^2}{8})$$

不能直接像刚刚那样确定，我们不妨取$x[n+kT]=cos(\frac{\pi (n+kT)^2}{8})=cos(\frac{\pi (n^2+2kTn+k^2T^2)}{8})$，这样看也还是看不出来。继续考虑，最后一项为常数，未知数为$n$，我们不妨再深入假设$\frac{\pi}{8}k^2T^2+\frac{\pi kT}{4}n=2N\pi$，对于任意整数n，总能找到kT使得$2nkT+k^2T^2=16N$成立，而这个成立的条件我们可以先看哈，kT必须是16的倍数。这样就符合周期性。那么它的基波周期是$T=8$。

1.26(d)

$$x[n]=cos(\frac{\pi}{2}n)cos(\frac{\pi}{4}n)$$

也不能用c题的思路了。我们最好是用分解来做，

$$x[n]=cos(\frac{\pi}{2}n)cos(\frac{\pi}{4}n)=\frac{1}{2}[cos(\frac{3\pi}{4}n)+cos(\frac{\pi}{4}n)]$$

$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{3}{8}$，$N_1=8$；$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{8}$，$N_2=8$。 所以$x[n]$是周期的，周期为$T=8$。

1.26(e)

$$x[n]=2cos(\frac{\pi}{4}n)+sin(\frac{\pi}{8}n)-2cos(\frac{\pi}{2}n+\frac{\pi}{6})$$$$\omega_01/2\pi=\frac{\pi}{4}/2\pi=\frac{1}{8}, N_1=8$$$$\omega_02/2\pi=\frac{\pi}{8}/2\pi=\frac{1}{16}, N_2=16$$$$\omega_03/2\pi=\frac{\pi}{2}/2\pi=\frac{1}{4}, N_3=4$$

故$x[n]$是周期的，取最小公倍数16

1.4 单位冲激函数与单位阶跃函数

1.4.1 单位阶跃函数 (Unit Step Functions)

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闭合表达式(Closed Expression)

一般地，我们可以采用与阶跃函数相乘的形式来表达分段函数 ， 而写出其闭合表达式 。

1.4.2 单位冲激函数

某些物理现象需要用一个 时间极短 ， 但 取值很大 的函数模型来描述 ， 如力学中的瞬间作用冲击力 ， 电学中的雷击电闪等等 。 “ 冲激函数 ” 就是以这类实际问题为背景而引出的 。冲激函数可由不同的方式来定义 。

(a)某种函数的极限来定义：

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0}\frac{1}{\tau}[u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})]$$

(b)狄拉克（Dirac）定义的冲激函数：

$$\delta(t) = \begin{cases} 0 & t\neq 0 \\ \infty & t=0 \end{cases}$$$$\int \delta(t)dt = 1$$

描述在任一点处出现单位冲激信号，可有如下定义：

$$\delta(t-t_0) = \begin{cases} 0 & t\neq 0 \\ \infty & t=t_0 \end{cases}$$$$\int \delta(t-t_0)dt = 1$$

冲激函数的性质(Properties of Impulse Functions)

1. 对时间的积分等于单位阶跃函数
2. 采样性质(Sampling Property of $\delta(t)$)：

$$x(t)\delta(t) = x(0)\delta(t)$$$$x(t)\delta(t-t_0) = x(t_0)\delta(t-t_0)$$

3. 尺度特性

$$\delta(t) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$$

4. 冲激偶的定义：单位冲激函数的导数 这个就是说单位冲激函数的导数就是冲激偶。
5. $\delta(t)$各阶导数

$$\int ^{\infty}_{-\infty}x(t)\delta^n(t)dt = (-1)^nx^n(0)$$

离散的阶跃信号与冲激信号

1. 阶跃信号

$$\delta[n] = \begin{cases} 0 & n<0 \\ 1 & n≥0 \end{cases}$$

移位的单位阶跃序列

$$\delta[n-k] = \begin{cases} 0 & n<k \\ 1 & n≥k \end{cases}$$

2. 冲激信号

$$\delta[n] = \begin{cases} 0 & n\neq0 \\ 1 & n=0 \end{cases}$$

移位的冲激序列

$$\delta[n-k] = \begin{cases} 0 & n\neq k \\ 1 & n=k \end{cases}$$

冲激信号与阶跃信号的关系为：

$$\sum^{n}_{m=-\infty}\delta[m] = u[n]$$

以及

$$\delta[n] = u[n]-u[n-1]$$

采样性质：

$$\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]\delta[n] = x[0]$$$$\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]\delta[n-k] = x[k]$$

以及

$$\sum^{n_2}_{n=n_1}x[n]\delta[n-k]=\begin{cases} x[n_0] & n∈{n_1,n_1} \\ 1 & oth \end{cases}$$

1.5 连续时间系统和离散时间系统

1.5.1 简单系统举例

系统的定义及表示

定义：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。

系统的表示方法：

1. 数学表达式：抽象出物理特性

2. 系统框图：图形化展示

1.5.2 系统的互联

框图法就是用一个方框来表示一个系统或子系统，而方框中的符号表示输入和输出之间的关系：

1. 串联或级联（Series or Cascade connection）

2. 并联（parallel connection）

3. 串并联（Series and parallel connection）

4. 反馈（feedback connection）

数学表达式：微分方程和差分方程

系统内部元器件或子系统的 连接关系 （ 拓扑约束 ）

另一条是元器件或子系统的 电气特性 （ 性能约束 ）

1.6 基本系统性质

1.6.1 记忆系统与无记忆系统： Memory

定义：对任意的输入信号，如果每一个时刻系统的输出信号值仅取决于该时刻的输入信号值,

系统的记忆特性 ： Memory

系统的可逆性：Invertibility

系统的因果性： Causality

系统的稳定性：Stability

系统的时不变性：Time Invariance

系统的线性：Linearity

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答案

1. 无记忆
2. 记忆
3. 记忆
4. 记忆
5. 记忆
6. 无记忆

1.6.2 可逆性与可逆系统： Invertibility

一个系统如果在不同的输入下，导致不同的输出，这样的系统就是可逆的。

1.6.3 因果性： Causality

如果一个系统在任何时刻的输出只与系统当前时刻的输入或过去的输入有关，而与系统未来的输入无关。

Example:

$$y[n] = x[n-n_0]$$

若$n_0>0$，则系统因果；

若$n_0<0$，则系统非因果；

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判断因果性：

答案

1. 因果
2. 非因果
3. 非因果
4. 因果
5. 因果

非因果系统是物理不可实现的。但是，对非实时处理信号的离散时间系统，或信号的自变量并不具有时间概念的情况，因果性并不一定成为物理实现的先决条件。

比如说你还没讲话之前，话筒里是不会有声音的，这是因果性；在图像处理中，自变量是图像中各点的坐标位置，而并非代表时间。对某些数据处理系统（股市分析、经济预测），实际上还是以足够的延时来换取非因果性的实现。

非因果系统可以在理论上实现，但实际上还是得先变成因果系统。

$$y(n) = x(-n)$$$$y(n) = x(n) - x(n+1)$$

$y(t) = x(2t)$是非因果系统。

RLC电路，$y(n) = x(n) - x(n-1), y(n)=\sum^n_{k=-\infty}x(k)$都是因果系统。

1.6.4 稳定性：Stability

有界输入产生有界输出，则这个系统就是稳定系统。(BIBO)

$$y[n] = nx[n]$$

该系统就是一个不稳定系统。

info

时移、反折、尺度系统是稳定系统； 积分、累加系统是不稳定系统。

1.6.5 时变系统：Time Invariance

时不变性：如果系统的输入在时间上有一个平移$t_0$ ，则由其引起的响应也产生一个同样的平移$t_0$。

检验一个系统时不变性的步骤:

1. 令输入为$x_1 (t)$，根据系统的描述，确定此时的输出 $y_1 (t)$
2. 将输入信号变为$x_2 (t)$，再根据系统的描述确定输出 $y_2 (t)$
3. 令$x_2 (t)=x_1 (t-t_0)$，根据自变量变换，检验$y_2 (t)$是否等于 $y_1 (t-t_0)$

证明过程：

设：

$$y_1(t)=T[x_1(t)]$$

令：

$$x_2(t) = x_1(t-t_0)$$

则：

$$y_2(t)=T[x_2(t)]$$

令：

$$y_1(t-t_0) = y_2(t)$$

则为时不变系统；否则为时变系统；

warning

例：

1. $y(t) = x(t-2)$
2. $y(t) = x(2t)$
3. $y(t) = x(-t)$

答案

1. 证明过程：

设：$y_1(t)=x_1(t-2)$

使，$x_2(t) = x_1(t-t_0)$

则，$y_2(t)=x_2(t-2)=x_1(t-2-t_0)$

有，$y_1(t-t_0)=x_1(t-2-t_0)=y_2(t)$

故系统是时不变系统

2. 证明过程： 设：$y_1(t)=x_1(2t)$

使，$x_2(t) = x_1(2t-t_0)$

则，$y_2(t)=x_2(2t)=x_1(2t-t_0)$

有，$y_1(t-t_0)=x_1(2t-2t_0)≠y_2(t)$

该系统是时变系统

3. 证明过程：

设，$y_1(t)=x_1(-t)$

使，$x_2(t)=x_1(t-t_0)$

则，$y_2(t)=x_2(t)=x_1(-t-t_0)$

而，$y_1(t-t_0)=x_1(-(t-t_0))=x_1(-t+t_0)$

有，$y_1(t-t_0)≠y_2(t)$

故系统是时变系统

tip

通过对上面几个式子的推导，可以得出结论：

◆ 时移 系统是时不变系统

◆ 尺度 系统是时变系统

◆ 反折 系统是时变系统

1.6.6 线性：Linearity

如果系统的输入和输出之间满足叠加性和齐次性，则该系统就是线性系统。

输入：$x(t)=\sum_ka_kx_k(t)=a_1x_1(t)+a_2x_2(t)+...+a_nx_n(t)$

输出：$y(t)=\sum_kb_ky_k(t)=b_1y_1(t)+b_2y_2(t)+...+b_ny_n(t)$

证明过程：

设：

$x_1(t) \rightarrow y_1(t)$

$x_2(t) \rightarrow y_2(t)$

$x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)$

$x_4(t)=ax_1(t)$

叠加性：$x_3(t) \rightarrow y_3(t)=y_1(t)+y_2(t)$

齐次性：$x_4(t) \rightarrow y_4(t)=ay_1(t)$

若叠加性与齐次性都满足则为线性系统，否则为非线性系统的输入和输出都是信号，信号的种类很多。

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判断以下系统是否为线性系统？

1. $y(t)=tx(t)$
2. $y(t)=x^2(t)$
3. $y(t)=x(2t)$

答案

1. 证明过程： 设：$y_1(t) = tx_1(t)$

使：$y_2(t) = tx_2(t)$

$x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)$

有：$x_4(t)=ax_1(t)$

可加性： $y_3(t)=tx_3(t) =tx_1(t)+tx_2(t) =y_1(t)+y_2(t)$

可齐性： $x_4(t)=ax_1(t) y_4(t)=tx_4(t)=atx_1(t) =ay_1(t)$

满足齐次性与可加性，故线性

推论：$y(t) = g(t)x(t)$是线性系统

2. 证明过程：

设：$y_1(t)=x_1^2(t)$

使：$y_2(t)=x_2^2(t)$

$x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)$

有：$x_4(t)=ax_1(t)$

可加性：

$y_3(t)=x_3^2(t) =(x_1(t)+x_2(t))^2 =x_1^2(t)+2x_1(t)x_2(t)+x_2^2(t) =y_1(t)+2x_1(t)x_2(t)+y_2(t)$

不满足可加性。（其实到这里就已经不必再证，但是为了完整性让我们来看看可齐性）

可齐性：

$x_4(t)=ax_1(t) y_4(t)=x_4^2(t) =(ax_1(t))^2 =a^2x_1^2(t) ≠ay_1(t)$

也不满足可齐性。所以不是线性系统。

3. 证明过程：

设：$y_1(t)=x_1(2t)$11

使：$y_2(t)=x_2(2t)$

$x_3(t)=x_1(t)+x_2(t)$

有：$x_4(t)=ax_1(t)$

可加性：

$y_3(t)=x_3(2t)=x_1(2t)+x_2(2t)=y_1(t)+y_2(t)$

可齐性：

$x_4(t)=ax_1(t) y_4(t)=x_4(2t)=ax_1(2t) =ay_1(t)$

满足齐次性与可加性，故线性

在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的要求。但是这类系统的输出的增量与输入信号的增量之间满足 线性特性 。这类系统称为增量线性系统 (incrementally linear systems)。

例如：

$y(t) = 3x(t)+2$ 易知，

$x_1(t) \rightarrow y_1(t)=3x_1(t)+2$

$x_2(t) \rightarrow y_2(t)=3x_2(t)+2$

该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，有

$x_1(t)-x_2(t) \rightarrow y_1(t)-y_2(t)=3(x_1(t)-x_2(t))$

可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个增量线性系统。

任何增量线性系统都可以等效为一个线性系统再加上一部分与输入无关的响应。

当增量线性系统的$y_0(t)=0$时，$y(t)=y_f(t)$。此时系统的输出响应完全由$y_f(t)$决定。此时系统处于零初始状态，故将称为系统的零状态响应

可见，增量线性系统的响应包括零输入响应和零状态响应两部分。

线性系统具有很重要的三个性质：

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答案

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答案

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答案

1.6.7 线性时不变系统： Linear and Time-invariant system (LTI)

例：判断以下系统是否为线性、时不变、记忆、因果、稳定？

答案

1. 线性、时变、记忆、非因果、稳定；
2. 线性、时不变、记忆、因果、不稳定；
3. 线性、时变、记忆、非因果、不稳定；

1.7 总结

一、 信号的几种基本分类：

（1）连续信号与离散信号

（注意：离散信号只能在整数点上有定义）

（2）周期信号与非周期信号

在连续情况下：$e^{jωt}$ 都是周期信号；

在离散情况下：$e^{jΩn}$在只有在 2π/Ω 为一有理数时才是周期信号；

奇异信号

(a) 单位阶跃函数

$$u(x)= \begin{cases} 0 & x>0 \\ 1 & x<0 \end{cases}$$

(b) 单位冲激信号 $δ(t)$

$$δ(t)= \begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & t=0 \end{cases}$$$$\int ^\infty _{-\infty} δ(t)dt=1$$

(c) 单位冲激信号的性质

二、信号的基本运算

相加或相乘、移位、反折、尺度变换、以及微分（差分）和积分（累加）等等

在移位、反折、尺度变换时，一定要注意一点，那就是在对时间变量t作变换。

信号的奇偶分解

对于连续信号，$x_e(t) = \frac{x(t)+x(-t)}{2}$，$x_o(t) = \frac{x(t)-x(-t)}{2}$

对于离散信号：$x_e[n] = \frac{x[n]+x[-n]}{2}$，$x_o[n] = \frac{x[n]-x[-n]}{2}$

三、 系统以及系统的性质

$y(t) = T[x(t)]$

系统的性质：

1. 线性

齐次性：$T[ax(t)]=aT[x(t)]$

可加性：$T[x_1 (t) + x_2 (t)]=T[x_1 (t)] +T[x_2 (t)]$

线性系统具有三个重要性质：

1. 微分特性

2. 积分特性

3. 频率保持性

4. 时不变性

若$T[x(t)]=y(t)$

则$T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$

称系统为时不变系统。

反折以及尺度变换的系统都是时变系统。

3. 因果性：系统在任何时刻的输出只取决于当前的或以前的输入

4. 动态特性：若系统的响应不仅与当前的激励有关，则称之为动态（记忆）系统。

5. 稳定性：

本课程主要研究线性、时不变、动态、稳定系统。这种系统的数学模型主要是线性常系数微分方程或线性常系数差分方程。