6.0 引言
首先,复习一下LTI系统的描述方法:
- 时域特性(卷积)
- 频域特性(系统频率响应)
在系统的分析和设计中,需要将时域和频域特性联系起来并给以权衡考虑。
6.1 傅立叶变换的模和相位表示
复习一下信号x(t)的傅里叶变换:
X(jω)=∣X(jω)∣ej∠X(jω)∣X(jω)∣:幅度频谱
∠X(jω):相位频谱
是幅度重要还是相位重要?
大多数情况下,幅度重要。
如果幅值已经接近0,相位改变多少都没有用。
但针对具体问题还是需要具体分析。
假如有
x(t)=1+21cos(2πt+Φ1)+cos(4πt+Φ2)+32cos(6πt+Φ3)绘制该信号:
t = 0:0.01:10;
x = 1 + 0.5*cos(2*pi*t) + cos(4*pi*t) + 2/3*cos(6*pi*t);
plot(t,x);
grid on;
xlabel('t');
ylabel('x(t)');
title('信号x(t)');
对于复杂图像,相位会更重要。比如在边缘检测里面,都是在相位图上做的。
分析幅频和相频都可以化为看图问题。
6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示
系统特性:
冲激响应:
h(t)⇔H(jω)=∣H(jω)∣ej∠H(jω)频率响应:
H(jω)=X(jω)Y(jω)将H(jw)进行Fourier逆变换可以得到h(t)。
幅度响应:
∣H(jω)∣相位响应:
∠H(jω)某LTI 系统的幅频响应和相频响应如图所示。
若系统的激励为:
x(t)=2+cos(5t)+4cos(10t)求系统的响应。
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看图,回忆公式:
H(jω)=∣H(jω)∣ej∠H(jω)将x(t)转换为傅立叶级数的形式:
x(t)=2+24(ej5t+e−j5t)+24(ej10t+e−j10t)根据特征函数特征值的概念:
y(t)=2H(0)+2(H(j5)ej5t+H(−j5)e−j5t)+2(H(j10)ej10t+H(−j10)e−j10t)H(0)=1H(j5)=2e−j2π1H(−j5)=2ej2π1H(j10)=0H(−j10)=0y(t)=2+e−j2πej5t+ej2πe−j5t故:
=2+ej(5t−2π)+ej(5t+2π)6.2.1 线性和非线性相位(Linear and Nonlinear Phase)
线性相位:
∠H(jω)=kω非线性相位:
∠H(jω)=NonlinearfunctionExample:
y(t)=x(t−t0)H(jω)=e−jω∠H(jω)=−ωt0(LinearPhase)效果: 线性相位意味着信号传输无失真。
6.2.2 群时延(Group Delay)
定义:
τ(ω)=dωd∠H(jω)Example:
y(t)=x(t−t0)H(jω)=e−jω∠H(jω)=−ωt0τ(ω)=t0(signaldelay)6.2.3 对数模和波特图(Log-Magnitude and Bod Plots)
幅度频谱:
∣H(jω)∣−ω20log10∣H(jω)∣−log10ω相位频谱:
∠H(jω)−ω∠H(jω)−log10ω波特图举例:
例:对如下系统的频率响应,绘制出波特图的直线近似。
H(jω)=40jω+40jω+0.1解:
20lg∣H(jω)∣=20lg40+20lg∣(jω+0.1)∣−20∣(jω+40)∣20lg∣H(jω)∣=⎩⎨⎧−2020lgω32ω<<0.10.1<<ω<<40ω>>40 6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性
(1)低通滤波器:
- 连续时间:
H(jω)={10∣ω∣≤ωc∣ω∣>ωch(t)=πtsin(ωct)
- 离散时间:
H(jω)={10∣ω∣≤ωc∣ω∣<ωc≤πh[n]=πnsin(ωcn)6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论
低通滤波器的基本参数: