量化选股策略

1. 有效市场理论：选股的必要性

证券市场可以分为4种类型：无效市场、弱式有效市场、半强式有效市场、强式有效市场。

无效市场：当前股价未反映历史价格信息，未来价格则会进一步对过去的价格信息反应。人们可以利用过去的价格信息进行分析从而获利。

弱式有效市场：技术分析的交易策略无法获取超额利润。

半强式有效市场：基本面分析失效，此时需要的是内幕消息。

强式有效市场：证券价格充分反映所有信息，包括公开的和内幕的消息，投资者需要保守策略。

如果市场能够越好地将历史价格信息、基本面和内幕消息反映到股票价格上，那么该市场就越是有效。

短期看来市场是无效的，而长期来看市场是有效的，即人们无法预测股票和债券在三五天内的价格，却可以预测更长期例如在未来三年至五年内的走势。在短期内，交易极易受到情绪和非理性因素影响，这些非理性的交易者会给市场带来噪音，从而促使股票价格偏离其实际价值，从而展示出证券市场无效性的一面；而从长期来看，

由于大部分投资人都是理性的，便展示出证券市场有效性的一面。

证券市场在短期内的无效会使得一些有价值的股票出现较低的价格，而长期的有效会使得这些低价的股票回归到其应有的高价格。

2. 单/多因子选股模型

2.1 效用模型与风险模型

• 效用函数

假设每一个人都有一个效用函数(utility function) $u$，它的输入是一个 财富总额，输出是这么多的财富可以给这个人带来多少效用。

性质1：如果 $x≤y$，那么$u(x)≤u(y)$。即钱多总比钱少好。

性质2：如果 $d≥0$，并且 $x≤y$，那么$u(x+d)-u(x) \geq u(y+d)-u(y)$。即给两个人同样数额的钱，其中较穷的那个人获得的效用更多。效用函数符合该性质的投资者被称为风险厌恶着。

• 期望效用假说

期望效用假说(expected utility hypothesis)：如果一个投资者的效用函数是 $u$，面对 $n$ 种选项，并且这些选项的财富值结果可以用随机变量 $X1, X2, ..., Xn$ 表示，那么该投资者会选择 $E[u(X)]$ 最大的那个选项。

• 损失厌恶

假设一项投资 $A$ 的回报可以用随机变量 $X$ 表示，这项投资的回报预期是 $E[X]$。再假设一个投资者具备效用函数 $u$，并且现有财富是 $x0$。那么，该投资者投资于 $A$ 后的财富值可以用随机变量 $x0+X$ 表示，并且他进行该投资的效用是 $u(x0+X)$，这项投资带给他的额外效用是 $u(x0+X)−u(x0)$。因此，投资于 $A$ 带给投资者的预期效用收益是 $E[u(x0+X)−u(x0)]$。若 $E[X]=0$，则该投资为零收益投资，那么 $E[u(x0+X)]≤u(x0)$。

投资的风险就是它的收益的不确定性。任何投资都可以被写为预期收益 $E[X]$和零收益投资 $X−E[X]$两部分的加和。

其中零收益部分带来预期效用下降，所以需要足够大的 $E[X]$ 来弥补；这里，$E[X]$ 被定义为这项投资的风险溢价(risk premium)，只有当风险溢价高于风险所带来的效用折损时，投资者才愿意进行投资。

• 分散风险

有一个简易的衡量风险的标准，就是收益变量的标准差 $σ_X$。一般来讲，在保持 $E[X]$ 不变的情况下，我们希望 $σ_X$ 越低越好。

• 对投资者的假设

如果任意两个投资回报率的随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $E[X]≥E[Y]$ 并且 $σ_X<σ_Y$（也就是说预期收益更大但是风险更小），该投资者会选择 $X$，那么我们说这个投资者是理智的。

2.2 MPT模型

现代资产配置理论(Modern Portfolio Theory)，简称 MPT，核心思想是以最小化标准差并最大化预期收益为目标来进行资产配置，有时也称为均值-方差分析(Mean-Variance Analysis)。一般来讲，在保持

• 模型和假设

市场上所有收益率方差大于 0 的资产叫做风险资产 (risky assts) ，将收益率没有不确定性的资产叫做无风险资产(risk-free assets)。并且，假设市场上所有无风险资产的收益率是一样的，叫做无风险利率(risk-free interest rate)，写作 $r_f$。

一个风险资产配置(risky portfolio) $P$是由风险资产 $i=1,2,…,n$ 按照某个权重比例组成的，每一个资产 $i$ 在 $P$ 中的权重是 $w_i$，满足 $\sum_{i=1}^{n} w_{i}=1$。我们假设市场是完全开放的，并且可以无限制地买多或卖空，因此 $w_i$ 可以是任何实数。

根据单个资产的收益率，可以计算资产配置 $P$ 的收益变量的一些性质。首先，资产组合收益率的随机变量是 $r_P=\sum_{i=1}^{n} w_{i}r_i$，它的预期收益是 $E[r_P]=E[\sum_{i=1}^{n} w_{i}r_i]=\sum_{i=1}^{n} w_{i}E[r_i]$，方差是 $Var(r_P)=E[r_P-E[r_P]]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_{i}w_{j}Cov(r_i, r_j)$。

• 有效前沿

固定预期收益，然后拥有该预期收益，并且标准差最小的资产组合。

对于任意一个预期收益值 $μ$，找到一个由配置权重 $w=(w_1,w_2,…,w_n)$定义的资产配置 $P$，要求 $P$ 的预期收益率为 $μ$，并且，在所有可以配置出的预期收益为 $μ$ 的组合中，$P$ 的方差是最小的。

最优化问题表示：

$$最小化 Var(r_P)=E[r_P-E[r_P]]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} w_{i}w_{j}Cov(r_i, r_j)$$$$满足E[r_P]=E[\sum_{i=1}^{n} w_{i}r_i]=\sum_{i=1}^{n} w_{i}E[r_i]=μ,\sum_{i=1}^{n} w_{i}=1$$

最佳解用Lagrange 乘子的方法。

对于每一个值 $μ$，我们求得一个风险资产配置 $P$，
满足 $E[r_P]=μ$，并且 $σ_P$ 是最小的。将这些最优解画成图，在标准差-预期的坐标上得到一条抛物线。这条曲线就是有效前沿曲线。由于它的形状近似一枚子弹尖，也有马科维兹子弹的别称。

信息

如何看这条曲线？

有效前沿存在一个波动率最小的位置 A，并且在这个点以上的位置才是真正“有效”的；我们是固定预期收益算得的最低风险而得到的这条曲线，如果再固定风险并选择最大的预期收益，则会筛选掉有效前沿的下半部分。所以，很多时候人们所说的“有效前沿”会特指上半部分。

• 夏普比率